professorotairrondon: Números Inteiros - Operações e Propriedades

Neste material será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.

Adição
Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominadosoma ou total.

1º parcela + 2º parcela = soma ou total

A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0

SubtraçãoO primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

minuendo - subtraendo = resto ou diferença

A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)

Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k.
Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.
A subtração é a operação inversa da adição:

M - S = R ↔ R + S = M

A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo.

M + S + R = 2 × M

Valor absolutoO Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.
A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor absoluto de n" ou "módulo den".)

Números simétricosDois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0

Exemplos:-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.
4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 é -5.
O simétrico de 6 é -6.
O oposto de zero é o próprio zero.

Dois números simétricos sempres têm o mesmo módulo.

Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3

Operações com números inteiros (Z)Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações.
As divisõs, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações.

Adições e subtrações com números inteirosExiste um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes:

Exemplo1:
Calcular o valor da seguinte expressão:
10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4

Exemplo2:Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2
1º passo: Achar os totais (+) e (-):
    (+): +4 + 3 = +7
    (-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo:
    -27 + 7 = - 20

Multiplicação
Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é donominado produto.

Divisão inteiraNa divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que:

Q × D + R = N e 0 ≤ R < R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D)

A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo.Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados:
N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos:
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.

8 × 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < |7|

2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor é 7, o quociente é -9 e o resto é 3.

-9 × 7 + 3 = -60 e 0 ≤ 3 < |7|

Multiplicação e divisões com números inteirosNas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:

Exemplos: